Polska Biblioteka Wirtualna Nauki

    Kolekcja Matematyczna




 

 Prosimy o przesyłanie uwag na adres bwm@icm.edu.pl

     Monografie Matematyczne    

Tom 11

Zasady algebry wyższej

Wacław Sierpiński

Warszawa-Wrocław 1946

Spis treści

ROZDZIA? I PERMUTACJE 

§ 1. Permutacje elementów
§ 2. Nieporządek elementu i permutacji. Podział permutacji na dwie klasy
§ 3. Transpozycje. Ich wpływ na klasę permutacji.
§ 4. Otrzymywanie dowolnej permutacji za pomocą kolejnych transpozycji 

ROZDZIA? II WYZNACZNIKI 

§ 1. Wstęp historyczny
§ 2. Definicja wyznacznika
§ 3. Obliczanie wyznaczników pierwszych czterech stopni
§ 4. Zamiana wierszy wyznacznika na kolumny
§ 5. Zamiana dwóch równoległych rzędów wyznacznika
§ 6. Rozwinięcie wyznacznika według elementów wiersza lub kolumny
§ 7. Wnioski
§ 8. Rozwinięcie wyznacznika według składników wiersza lub kolumny. Zastosowania.
§ 9. Wyznacznik Vandermonde'a
§ 10. Mnożenie wyznaczników jednakowego stopnia
§ 11. Mnożenie wyznaczników różnych stopni
§ 12. Wyznacznik utworzony z minorów danego wyznacznika
§ 13. Metoda Banachiewicza obliczania wyznaczników 

ROZDZIA? III ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ LINIOWYCH 

§ 1. Przekształcenia liniowe
§ 2. Rozwiązywanie układu równań liniowych
§ 3. Przykłady
§ 4. Rozwiązywanie układu równań liniowych o niewiadomych gdy
stopień wyznacznika podstawowego jest równy liczbie równań
§ 5. Rozwiązywanie układu równań liniowych o niewiadomych, gdy
stopień wyznacznika podstawowego jest mniejszy od ilości równań
§ 6. Sposób rozwiązywania układu równań liniowych o niewiadomych
w przypadku ogólnym
§ 7. Warunek konieczny i dostateczny rozwiązalności układu równań
o niewiadomych
§ 8. Rozwiązywanie układu równań liniowych metodą równych współczynników
§ 9. Przykłady 

ROZDZIA? IV PRZEKSZTA?CENIA LINIOWE 

§ 1. Przekształcenia liniowe jednorodne, ich odwracanie i składanie
§ 2. Przekształcenia ortogonalne 

ROZDZIA? V MACIERZE 

§ 1. Mnożenie macierzy. Przykłady
§ 2. Własności iloczynu macierzy
§ 3. Macierz zerowa i jednostkowa
§ 4. Macierz odwrotna
§ 5. Dzielenie macierzy
§ 6. Macierz odwrócona. Macierze ortogonalne
§ 7. Krakowiany
§ 8. Rozwiązywanie układu równań liniowych. za pomocą krakowianów 

ROZDZIA? VI LICZBY ZESPOLONE 

§ 1. Liczby zespolone. Ich równość, suma i iloczyn
§ 2, Różnica i iloraz liczb zespolonych
§ 3. Liczba i
§ 4. Liczby zespolone sprzężone
§ 5. Obrazy geometryczne liczb zespolonych. Moduł
§ 6. Forma trygonometryczna liczb zespolonych
§ 7. Potęgowanie i pierwiastkowanie liczb zespolonych
§ 8. Pierwiastki n-go stopnia z jedności 

ROZDZIA? VII DOWÓD ZASADNICZEGO TWIERDZENIA ALGEBRY 

§ 1. Lemat Gaussa
§ 2. Zasadnicze twierdzenie Algebry 

ROZDZIA? VIII WIELOMIANY 

§ 1. Dzielenie wielomianu przez wielomian. Reszta
§ 2. Dzielenie wielomianu przez dwumian x-a. Pochodna wielomianu § 3. Podzielność wielomianów. Ich dzielniki wspólne. Największy wspólny
dzielnik
§ 4. Algorytm kolejnych dzieleń
§ 5. Wielomiany względnie pierwsze
§ 6. Największy wspólny dzielnik wielu wielomianów
§ 7, Najmniejsza wspólna wielokrotność wielomianów
§ 8. Wzór Taylora dla wielomianów jednej zmiennej
§ 9. Pierwiastki wielokrotne wielomianu
§ 10. Pozbywanie się pierwiastków wielokrotnych. wielomianu
§ 11. Rozkład wielomianu na czynniki liniowe. Wnioski
§ 12. Wzory interpolacyjne Lagrange'a i Newtona
§ 13. Własności wielomianów o współczynnikach całkowitych
§ 14. Wielomiany nieprzywiedlne
§ 15. Wyznaczanie dzielników wielomianów o współczynnikach całkowitych
§ 16. Wielomiany n zmiennych
§ 17. Badanie podzielności wielomianów dwóch zmiennych
§ 18. Wyznaczanie największego wspólnego dzielnika wielomianów dwóch.
zmiennych
§ 19. Wyznaczanie dzielników wielomianów wielu zmiennych
§ 20. Przykłady
§ 21. Rozkład wielomianów jednorodnych 2-go stopnia na sumy kwadratów
wielomianów liniowych
§ 22. Funkcje wymierne i niewymierne
§ 23. Rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste 

ROZDZIA? IX WIELOMIANY SYMETRYCZNE 

§ 1. Funkcje symetryczne podstawowe
§ 2. Niezależność algebraiczna funkcyj symetrycznych podstawowych
§ 3. Zasadnicze twierdzenie o wielomianach symetrycznych.
§ 4. Dowód Waringa
§ 5. Wzory Newtona
§ 6. Wyróżnik równania 

ROZDZIA? X RÓWNANIA DRUGIEGO, TRZECIEGO I CZWARTEGO STOPNIA 

§ 1. Równania 2-go stopnia
§ 2. Równania dwukwadratowe
§ 3. Równania 3-go stopnia
§ 4. Przykłady równań 3-go stopnia
§ 5. Równania 3-go stopnia
§ 6. Równania 4-go stopnia
§ 7. Rozwiązywanie równań 4-go stopnia przy pomocy funkcyj symetrycznych
§ 8. Sposób Ferrari'ego rozwiązywania równań 4-go stopnia.
§ 9, Metoda Tschirnhausena przekształcania równań 

ROZDZIA? XI RÓWNANIA PODZIA?U KO?A 

§ 1. Równania zn-1=0 dla n<6
§ 2. Równanie z7-1 =0
§ 3. Równania z8-1 =0, z9-1=0 oraz z10-1 = 0
§ 4. Równanie z17-1= 0
§ 5. Konstrukcje za pomocą cyrkla i liniału 

ROZDZIA? XII LICZBY ALGEBRAICZNE 

§ 1. Liczby algebraiczne 2-go stopnia.
§ 2. Dowód istnienia liczb algebraicznych dowolnego stopnia .
§ 3. Twierdzenie o sumie i iloczynie liczb algebraicznych
§ 4. Wielomiany, których współczynniki są, liczbami algebraicznymi
§ 5. Przybliżenia wymierne liczb algebraicznych n-go stopnia .
§ 6. Dowód Liouville'a istnienia liczb przestępnych 

ROZDZIA? XIII CIA?A LICZBOWE 

§ 1. Definicja ciała liczbowego. Przykłady
§ 2. Rozszerzanie ciał liczbowych przez dołączanie nowych liczb.
§ 3. Wielomiany nieprzywiedlne w ciele liczbowym
§ 4. Kolejne dołączanie liczb algebraicznych do ciała liczb wymiernych .
§ 5. Przedstawianie pierwiastków równania za pomocą pierwiastników stopnia mniejszego od n
§ 6.Układy liczb algebraicznie niezależnych 

ROZDZIA? XIV DOWODY NIEMOŻLIWOŚCI 

§ 1. Niemożliwość przedstawienia pierwiastków wielomianu nieprzywiedlnego
3-go stopnia za pomocą pierwiastników kwadratowych
§ 2. Podział koła na 7 i na 9 równych części. Trysekcja kąta.
§ 3. Niemożliwość przedstawienia za pomocą pierwiastników rzeczywistych pierwiastków wielomianu 3-go stopnia o współczynnikach wymiernych
i trzech pierwiastkach rzeczywistych niewymiernych .
§ 4. Niemożliwość przedstawienia części rzeczywistej oraz współczynnika
przy i liczby |/l+2i za pomocą pierwiastników rzeczywistych
§ 5. Własność pierwiastków pierwotnych 7-go i 9-go stopnia z jedności 

ROZDZIA? XV UK?ADY DWU RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH 

§ 1. Wspólne pierwiastki dwu wielomianów jednej zmiennej
§ 2. Wspólne pierwiastki wielomianu i jego pochodnej.
§ 3. Rozwiązywanie układu dwu równań algebraicznych o dwu niewiadomych. Metoda Sylvestera.
§ 4. Przypadek, gdy żaden z rugowników nie jest tożsamościowo zerem .
§ 5. Przypadek, gdy jeden z rugowników jest tożsamościowo zerem
§ 6. Przypadek, gdy oba rugowniki są tożsamościowo równe zeru.
§ 7. Metoda Fermata rozwiązywania układu dwu równań algebraicznych 

ROZDZIA? XVI OBLICZANIE PIERWIASTKÓW RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH 

§ 1. Twierdzenie Sturma
§ 2. Wnioski z twierdzenia Sturma.
§ 3. Oddzielanie i przybliżone obliczanie pierwiastków
§ 4. Reguła falsi i metoda Newtona.
§ 5. Obliczanie pierwiastków zespolonych wielomianu o dowolnych współczynnikach zespolonych 

ROZDZIA? XVII OGÓLNA TEORIA DZIA?AŃ 

§ 1. Ogólna definicja działania. Przykłady
§ 2. Tabliczka działania
§ 3. Działania przemienne i działania łączne.
§ 4. Działania na zbiorach skończonych
§ 5. Rozdzielność działania względem innego działania
§ 6. Działania odwrotne. Przykłady
§ 7. Działania odwrotne względem działań odwrotnych. Przykłady
§ 8. Izomorfizm działań. Przykłady 

ROZDZIA? XVIII PODSTAWIENIA 

§ 1. Podstawienia. Ich znakowanie. Podstawienia odwrotne
§ 2. Iloczyn podstawień
§ 3. Przedstawienia podstawień za pomocą cyklów. Wyrażenia analityczne podstawień
§ 4. Podstawienia w ciągu nieskończonym liczb naturalnych 

ROZDZIA? XIX GRUPY 

§ 1. Definicja grupy. Przykłady
§ 2. Jedność grupy i jej własności
§ 3. Elementy odwrotne i ich własności.
§ 4. Jednoznaczna wykonalność działań odwrotnych
§ 5. Produkt grup
§ 6. Podgrupy; Przykłady.
§ 7. Podgrupy grup cyklicznych
§ 8. Część wspólna podgrup. Rząd elementu grupy. Przykłady
§ 9. Podgrupy przekształcone. Podgrupy sprzężone. Dzielniki normalne
§ 10. Liczba elementów podgrupy grupy skończonej
§ 11. Kompleksy i ich iloczyny
§ 12. Izomorfizm i automorfizm grup. Przykłady
§ 13. Własności izomorfizmu. Grupy a podstawienia
§ 14. Grupy, których liczba elementów jest liczbą, pierwszą. Ich automorfizmy
§ 15. Grupy o 4 elementach .
§ 16. Grupy o 6 i więcej elementach.
§ 17. Homomorfizm. Endomorfizm.
§ 18. Grupy podstawień, nie zmieniających wielomianu n zmiennych
§ 19. Grupa Galois równania 

ROZDZIA? XX UOGÓLNIENIE CIA? LICZBOWYCH 

§ 1. Definicja ciała
§ 2. Przykłady ciał.
§ 3. Dołączanie elementu do ciała
§ 4. Podciała. Ciała proste
§ 5. Ciała skończone
§ 6. Ciała złożone z 4 elementów 

CZĘŚĆ I GRUPA GALOIS 

§ 1. Grupy podstawień. Pojęcie symetrii
§ 2. Grupa Galois
§ 3. Grupy symetrii funkcji wymiernych pierwiastków równania
§ 4. Istnienie liczb o danej grupie symetrii
§ 5. Uogólnienie twierdzenia o funkcjach symetrycznych
§ 6. Wyznaczanie grupy Galois.
§ 7. Własności liczb ciała E.
§ 8. Kryterium nieprzywiedlności wielomianu
§ 9. Równania o grupie symetrycznej
§ 10. Wyznaczenie wszystkich ciał między K i E 

CZĘŚĆ II ZASTOSOWANIE DO RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH 

§ 11. Redukcja grupy G przy rozszerzaniu ciała K
§ 12. Grupa równania, któremu czyni zadość H
§ 13. Sprowadzenie równania f(x)=0 do równań prostych
§ 14. Przykłady
§ 15. Prostota grupy naprzemiennej
§ 16. Niewymierności naturalne i uboczne
§ 17. Równania czyste
§ 18. Równania cykliczne
§ 19. Równania rozwiązalne przez pierwiastniki
§ 20. Konstrukcje przy pomocy cyrkla i liniału
§ 21. Pierwiastniki rzeczywiste 

Materiały redakcyjne  

Przedmowa, spis rzeczy, skorowidz nazw, skorowidz nazwisk, errata 

 
Strona główna   Powrót