Polska Biblioteka Wirtualna Nauki

    Kolekcja Matematyczna




 

 Prosimy o przesyłanie uwag na adres bwm@icm.edu.pl

     Monografie Matematyczne    

Tom 13

Działania nieskończone

Wacław Sierpiński

Warszawa 1949

Spis treści

ROZDZIA? I Przekroje i liczby niewymierne 

§ 1. Przekroje zbioru liczb wymiernych
§ 2. Luki. Liczby niewymierne; liczby rzeczywiste
§ 3. Pojęcie liczby mniejszej i większej
§ 4. Przechodniość znaku <
§ 5. Gęstość zbioru liczb wymiernych w zbiorze liczb rzeczywistych
§ 6. Zamykanie liczby rzeczywistej między dwiema dowolnie bliskimi liczbami wymiernymi
§ 7. Ciągłość zbioru liczb rzeczywistych
§ 8. Przekroje niewłaściwe 

ROZDZIA? II Ciągi nieskończone i ich granice 

§ 9. Ciągi nieskończone
§ 10. Granica górna i dolna ciagu.
§ 11. Ciągi, których granice są nieskończone.
§ 12. Wnioski z defiincji granicy górnej i dolnej ciagu
§ 13. Ciagi monotoniczne
§ 14. Warunek konieczny i wystarczający na to żeby dana liczba rzeczywista była granicą danego ciągu nieskończonego
§ 15. Liczby rzeczywiste, jako granice ciągów liczb wymiernych.
§ 16. Nieprzeliczalność zbioru wszystkich liczb rzeczywistych
§ 17. Warunek konieczny i wystarczający dla zbieżności ciągu nieskończonego 

ROZDZIA? III Działania arytmetyczne na liczbach rzeczywistych 

§ 18. Suma liczb rzeczywistych
§ 19. Własności sumy
§ 20. Dodawanie nierówności
§ 21. Odejmowanie
§ 22. Sprowadzenie odejmowania do dodawania
§ 23. Liczby dodatnie i ujemne.
§ 24. Waruuek konieczny i wystarczajacy na to, żeby dana skończona liczba rzeczywista była granicą danego ciagu nieskończonego
§ 25. Twierdzenia o granicy sumy i róznicy
§ 26. Warunek konieczny i wystarczajacy dla zbieźności ciagu nieskończonego
§ 27. Ciagi ograniczone. Ograniczoność ciagu zbieżnego
§ 28. Granica górna i dolna jako granice ciagów wyjetych
§ 29. Iloczyn liczb rzeezywistych
§ 30. Wlasności iloczynu
§ 31. Mnożenie nierówności
§ 32. Twierdzenie o granicy iloczynu
§ 33. Iloraz liczb rzeczywistych
§ 34. Własności odwrotności.
§ 35. Twierdzenie o granicy ilorazu 

ROZDZIA? IV Potęgowanie liczb rzeczywistych 

§ 36. Potęga naturalna
§ 37. Ciag potęgowy
§ 38. Pierwiastki arytmetyczne
§ 39. Obliczanie pierwiastków arytmetycznych
§ 40. Nierówności dla średniej arytmetycznej i średniej geometrycznej
§ 41. Pojecie funkcji jednej zmiennej rzeczywistej; jej ciągłość
§ 42. Funkcje ciagłe
§ 43. Własności potęgi wymiernej
§ 44. Potega o wykładniku rzeczywistym
§ 45. Własności potegi o wykładniku rzeczywistym
§ 46. Nierówności
§ 47. Funkcja e* 

ROZDZIA? V Logarytmy 

§ 48. Dowód istnienia logartmów liczb dodatnich
§ 49. Ogólne własności logarytmów.
§ 50, Logarytmy naturalne
§ 51. Wzor asymptotyczny; stałaEulera
§ 52. Interpolacja logarytmów 

ROZDZIA? VI Wiadomości podstawowe z teorji funkcji zmiennej rzeczywistej 

§ 53. Kres górny i dolny zbioru i jego własności
§ 54. Ciagłość funkcji w danym przedziale
§ 55. Dowód twierdzenia, że funkcja ciagła przechodzi od jednej wartości do drugiej, przechodząc przez wszystkie wartości pośrednie
§ 56. Kresy funkcji w danym zbiorze.
§ 57, Suma, iloczyn, róznica i iloraz funkcji ciagłych w danym przedziale
§ 58. Dowód twierdzenia o istnieniu pierwiastków rzeczywistych równań algebraicznych stopnia nieparzystego 

ROZDZIA? VII Teoria liczb zespolonych 

§ 59. Liczby zespolone, jako najprostsze rozszerzenie pojecia liczb rzeczywistycli
§ 60. Działania arytmetyczne na liczbach zespolonyh
§ 61. Moduł liczby zespolonej i jego własności
§ 62. Dwumian Newtona
§ 63. Pierwiastki drugiego stopnia z liczb zespolonych
§ 64. Dowód istnienia pierwiastków stopnia m-go z liczb zespolonych
§ 65. Dowód zasadniczego twierdzenia algebry
§ 66, Rozkład wielomianu na czynniki linjowe
§ 67. Dowód twierdzenia, że pierwiastki równania algebraicznego są funkcjami ciągłymi jego współczynnikow
§ 68. Rozkiad funkcji wymiernej na ułamki proste
§ 69. Ciagi nieskończone o wyrazach zespolonych 

ROZDZIA? VIII Szeregi nieskorfczone o składnikach stałych 

§ 70. Zbieżnóść szeregu nieskończonego; jego suma
§ 71. Szeregi o składnikach zespolonych
§ 72. ?aczność sumy nieskończonej liczby składników
§ 73. Wpływ porzadku składników szeregu nieskończonego na wartość sumy.
§ 75. Szeregi zbiezne warunkowo
§ 76. Cechy zbieżności i rozbiezności szeregów
§ 77. Kryterium Cauchy'ego
§ 78. Cecha Kummera.
§ 79. Twierdzenie Dini'ego
§ 80. Twierdzenie Alel'a. Szeregi naprzemienne
§ 81. Dodawanie szeregów
§ 82. Przekształcanie szeregów wolno zbieżnych
§ 82a. Inne metody przekształcania szeregów
§ 83. Metoda Kummera. Metoda Markowa 

ROZDZIA? IX Mnożenie szeregów. Szeregi podwójne 

§ 84. Twierdzenie Cesaro. Twierdzenie Abela
§ 85. Twierdzenie Cauchy'ego
§ 86. Mnozenie szeregów zbieżnyeh bezwzględnie
§ 87. Szeregi iterowane; ich zbieźność i suma.
§ 88. Szeregi iterowane bezwzglednie zbieźne
§ 88*. Warunek przemienności sumowania.
§ 89. Ciagi podwójne
§ 90. Szeregi podwójne; ich zbieżność i suina. 

ROZDZIA? X Teoria iloczynów nieskończonych 

§ 91. lloczyny nieskończone; ich zbieźność i wartość
§ 92. Warunek konieczny i wystarczający dla zbieżności iloczynu nieskończonego
§ 93. Iloczyny o czynnikach stale mniejszych lub stale wiekszych od jedności
§ 94. Twierdzenie o zbiezności iloczynu
§ 95. Sprowadzenie badania iloczynów do badania szeregów za pomoca logarytmowania
§ 96. lloczyny zbiożne bezwarunkowo i iloczyny zbiezne bezwzglednie
§ 97. Przukształcanie iloczynów nieskończonyeh na szeregi 

ROZDZIA? XI Ułamkl łańcuchowe 

§ 98. Wzór na redukty ułamka łańcuchowego
§ 99. Wzór na różnicę kolejnyeh reduktów
§ 100. Ułamki łańcuchowe nieskończone;
§ 101. Ułamki łańcuchowe arytmetyczne
§ 102. Rozwiniecia funkcji ex oraz tg x na ułamki nieskończone
§ 103. Niewymiernośó wymiernych poteg liczby e
§ 104. Rozwiniecie liczby e na ułamek nleskończony arytmetyczny 

ROZDZIA? XII Wiadomoścł podstawowe z teorji funkcji zmiennej zespolonej 

§ 105. Punkt skupienia. Zbiory zamknięte
§ 106. Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa
§ 107. Ciagłość Funkcji w pewnyin zbiorze, zwyczajna i jednostajna
§ 108. Ograniczoność i zamknietość zbioru wartości funkcji ciagłej w zbiorze ograniczonym i zamkniętym
§ 109. Funkcja funkcji
§ 110. Funkcje odwrotne 

ROZDZIA? XIII Ciągi i szeregi funkcji 

§ 111. Ciągi nieskończone funkcyj
§ 112. Ciagłość granicy ciągu jednostajnie zbieżnego funkcyj zbieżnych.
§ 113. Warunek konieczny i wystarczajacy na to, żeby granica ciagu funkcyj ciagłych dla danego punktu była dla tego punktu ciagła
§ 114 Ciagi zbieżne quasi-jednostajnie. Twierdzenie Arzela
§ 115. Szeregi nieskończone funkcyj
§ 116. Stosunek zbieżności jednostajnej do zbieżności bezwzględnej szeregu.
§ 117. Grranica sumy szeregu jednostajnie zbieżnego 

ROZDZIA? XIV Rozwijanle funkcji ciągłych na szeregi wielomianów 

§ 118. Rozwijanie funkcyj wymiernych na szereg wielomianów
§ 119. Twierdzenie Weierstrassa o rozwijalności funkcyj ciagłej na szereg wielomianów
§ 120. Wzór interpolacyjny S. Bernsteina
§ 121. Rozwijanie funkcyj ciagłych na szeregi normalne
§ 122. Wnioski z twierdzenia Weierstrassa
§ 123. Wielomiany dajace najlepsze przybliźenie funkcji ciagłej w danym przedziale 

ROZDZIA? XV Szeregi potęgowe 

§ 124. Promień i koło zbiezności szeregu potęgowego
§ 125. Ciagłość sumy szeregu potegowego wewnatrz jego koła zbieźności
§ 126. Zachowanie się szeregu potęgowego na obwodzie koła zbieżności
§ 126a. Szereg potęgowy, zbieżny na swym kole zbieźności jednostajnie, ale nie bezwzglednie
§ 127. Twierdzenie Abela
§ 128. Skończoność liczby pierwiastków szeregu potegowego w otoczeniu punktu z=0
§ 129. Pochodna szeregu potegowego
§ 130. Szeregi według poteg z—a
§ 131. Nierówność dla współczynników szeregu potęgowego, którego suma jest ograniczona na danym kole
§ 132. Twierdzenie Weierstrassa o szeregu szeregów potęgowych 

Materiały redakcyjne  

Przedmowa, treść 

 
Strona główna   Powrót